건축구조기술사 서브노트 200제 6번 | 휨응력·편심하중·비대칭휨 (경사모멘트, 단면의 핵, 굴뚝, 변단면 캔틸레버)

서브노트 200제 · 6번 · 중요도 ★★★
주제: 휨응력·편심하중·비대칭휨 — 비대칭휨(경사하중) / 편심압축·핵(굴뚝·기둥) / 변단면·특수조건 최대휨응력

1. 서론

1) 의의

• 휨응력 σ = My/I는 대칭 단면이 주축 방향으로 휨을 받을 때 성립하는 기본식임
• 하중이 주축과 경사지거나(비대칭휨), 축력이 도심을 벗어나거나(편심압축), 단면이 길이 방향으로 변하면(변단면) 최대응력 위치와 크기가 달라짐
• 지붕 중도리·경사보, 굴뚝·옹벽·편심기둥, 테이퍼 보·겹친 보 검토의 기초가 됨
• 기출은 ① 경사 모멘트의 응력 증가배율, ② 굴뚝 무인장 최대높이·편심기둥 모서리응력, ③ 변단면·자중·겹친 단면 최대 휨응력 3가지 유형임

2) 구성

• 2장 비대칭휨: 응력식, 중립축 경사, 응력 증가배율, 비주축 단면 일반식
• 3장 편심압축·핵: 조합응력식, 단면의 핵, 2축 편심 기둥 예제, 굴뚝 무인장 높이
• 4장 변단면·특수조건: 변단면 캔틸레버, 자중 캔틸레버·매달린 기둥, 겹친 단면
• 5장 결론

2. 비대칭휨(경사하중)

1) 비대칭휨의 정의와 응력식

구분	내용
정의	휨모멘트 벡터가 단면 주축과 일치하지 않는 휨 (경사하중, 2축휨)
응력 (주축 x, y 기준)	σ = Mx·y/Ix + My·x/Iy, Mx = M cosα, My = M sinα
직사각형 최대응력	σmax = M cosα/Zx + M sinα/Zy (대각 모서리)
중립축 경사	tanβ = (Ix/Iy)·tanα → 중립축은 모멘트 벡터보다 약축 쪽으로 더 회전
비주축 단면 (Ixy ≠ 0)	σ = [(MyIx + MxIxy)x − (MxIy + MyIxy)y] / (IxIy − Ixy²) (부호규약에 유의) 또는 주축 변환 후 계산

2) 경사 모멘트의 압축응력 증가배율 (127회 출제)

• 직사각형 b×h에 모멘트가 강축에서 α만큼 경사 → 증가배율 = σ_max/(M/Z_x) = cosα + (h/b)·sinα
• 예) h/b = 2, α = 10° → 0.985 + 2×0.174 = 1.33배 (응력 33% 증가), 중립축 β = tan⁻¹(4 tan10°) = 35.2°
• 춤이 큰(세장한) 단면일수록 작은 경사에도 응력이 급증함 → 경사지붕 중도리는 새그로드·약축 보강 필요

3) 실무 적용

사례	문제	대응
경사지붕 중도리	중력하중이 약축 성분 발생	새그로드·타이로드로 약축 경간 단축
ㄱ형강 보	주축이 기하축과 불일치	주축 기준 해석 (서브노트 1번 주축 참조)
2축 휨 기둥	양방향 모멘트 동시 작용	P-Mx-My 상관식으로 검토

3. 편심압축·핵(굴뚝·기둥)

1) 편심압축 응력식

• σ = P/A ± P·e_y·y/I_x ± P·e_x·x/I_y (압축 +)
• 직사각형 모서리: σ = (P/A)(1 ± 6e_x/b ± 6e_y/h)
• 중립축 절편: x₀ = −r_y²/e_x, y₀ = −r_x²/e_y (r²: 회전반경 제곱, 하중 반대편에 위치)

2) 단면의 핵(Core, Kern)

단면	핵 형상	핵 크기 (도심에서)
사각형 (b×h)	마름모	ex ≤ b/6, ey ≤ h/6 (중앙 1/3 법칙)
원형 (지름 d)	원	e ≤ d/8 (= r/4)
중공원 (D, d)	원	e ≤ (D² + d²)/(8D)
H형강 (강축)	마름모형	e ≈ Z/A (단면계수/면적)

• 정의: 축력이 핵 안에 작용하면 단면 전체가 압축(인장 없음) → 조적·무근콘크리트·기초 설계의 기본
• 암기: 사각 1/6, 원형 1/8 (사6·원8)

3) 2축 편심 기둥 계산 예 (123회 출제)

• 조건: 단면 b = 400 (x방향) × h = 600 mm (y방향), P = 1,000 kN, e_x = 50 mm, e_y = 100 mm

항목	계산	결과
P/A	1,000×10³ / 240,000	4.17 MPa
P·ey/Zx	10⁸ / (400×600²/6)	4.17 MPa
P·ex/Zy	5×10⁷ / (600×400²/6)	3.13 MPa
모서리 응력	4.17 ± 4.17 ± 3.13	11.46 / 5.21 / 3.13 / −3.13 MPa
중립축 절편	x0 = −(400²/12)/50, y0 = −(600²/12)/100	x0 = −266.7, y0 = −300 mm
판정	ex/b + ey/h = 0.125 + 0.167 = 0.29 > 1/6	핵 밖 → 반대 모서리 인장 발생

4) 벽돌 굴뚝 인장응력 미발생 최대높이 (105회 출제)

단계	내용
① 자중 응력	밑면 압축응력 σw = W/A = γ·A·H/A = γH (단면 일정 시)
② 풍하중 휨	풍압 p, 외경 D → 단위높이 하중 q = pD, 밑면 M = pDH²/2, σb = M/Z
③ 무인장 조건	σw ≥ σb → γH ≥ pDH²/(2Z) → H ≤ 2γZ/(pD)
④ 핵 표현	편심 e = M/W ≤ (D² + d²)/(8D) 와 동일 결과
⑤ 계산 예	D = 2.0 m, d = 1.4 m, γ = 18 kN/m³, p = 1.0 kN/m² → Z = 0.597 m³ → H ≤ 10.7 m

• 예제의 풍압·단위중량은 설명용 가정값이며, 실제는 KDS 41 풍하중(풍력계수·가스트영향계수 등)을 적용해야 함

4. 변단면·특수조건 최대휨응력

1) 변단면 캔틸레버 최대 휨응력 위치 (112·136회 출제)

단계	내용
① 조건	폭 b 일정, 춤이 자유단 h1에서 고정단 h2로 선형 증가, 자유단 집중하중 P
② 응력식	σ(x) = M(x)/Z(x) = 6Px / [b·h(x)²], h(x) = h1 + (h2 − h1)x/L
③ 극대 조건	dσ/dx = 0 → h(x) = 2x·h′ → x = h1L/(h2 − h1)
④ 판정	h2 ≤ 2h1 → x ≥ L이므로 고정단 최대 / h2 > 2h1 → 경간 중간에서 최대
⑤ 예	h2 = 3h1 → x = L/2, σmax = 6P(L/2)/[b(2h1)²] = 0.75PL/(bh1²) (고정단 0.67PL/bh1²보다 큼)

• 암기: 고정단 춤이 자유단의 2배를 넘으면 중간에서 최대 (2배 넘으면 중간)
• 비균일 단순보도 같은 원리: σ(x) = M(x)/Z(x)를 구간별로 산정하고 단면 변화점을 반드시 검토함

2) 자중만 받는 캔틸레버와 매달린 기둥 (126회 출제)

구분	매달린 기둥 (수직)	수평 캔틸레버 (직사각형 b×h)
최대 응력	σ = γL (상단 인장)	M = γbhL²/2, σ = M/Z = 3γL²/h
항복 시 최대길이	L1 = σy/γ	L2 = √(σyh/3γ)
길이 비	L2/L1 = √(γh/3σy)	—
강재 예 (σy = 235 MPa, γ = 78.5 kN/m³, h = 0.5 m)	L1 ≈ 2,994 m	L2 ≈ 22.3 m (비 약 0.0075)

• 시사점: 축력 저항이 휨 저항보다 압도적으로 효율적임 → 장스팬은 트러스·케이블·아치 등 축력형 구조가 유리함

3) 겹친 단면 (127회 출제)

구분	분리(미접착) 2단 겹침	일체(접착·전단연결)
거동	각 보가 자기 중립축으로 각자 휨, 접촉면 미끄럼	하나의 단면(춤 2h)으로 휨, 접촉면 수평전단 전달
단면계수 Z	2 × bh²/6	b(2h)²/6 = 4bh²/6 → 2배
단면2차모멘트 I	2 × bh³/12	b(2h)³/12 = 8bh³/12 → 4배
최대 휨응력	σ	σ/2
처짐	δ	δ/4
조건	—	접촉면 수평전단 q = VQ/I를 접착·볼트·전단연결재가 부담해야 함

• 암기: 붙이면 강도 2배, 강성 4배 (붙이면 이사(2·4))
• 춤 H 산정 문제: σ = M/Z ≤ f_b와 δ ≤ δ_allow를 각각 만족하는 H를 구하고 큰 값을 채택함

5. 결론

• 휨응력은 비대칭휨(cosα + (h/b)sinα), 편심압축(P/A ± M/Z, 핵 (사6·원8)), 변단면(M/Z 극대점) 순으로 확장하여 검토함
• 성패 요인은 중립축 위치 산정, 핵 이탈 여부 판정, 변단면의 (2배 넘으면 중간) 및 겹친 단면 (붙이면 이사(2·4)) 판단임
• 실무에서는 경사 중도리 약축 보강, 조적·기초의 무인장 확보, 합성·겹친 부재의 전단연결을 반드시 확인해야 함

참고 및 출처

• Bending (Wikipedia)
• Section modulus (Wikipedia)
• 국가건설기준센터 KCSC (건축구조기준 KDS 41)

※ 법령·기준은 개정될 수 있으므로 최신 규정을 확인할 것.