건축구조기술사 서브노트 200제 5번 | 비틀림 (원형단면, 폐단면, 비틀림상수 J, 뒤틀림상수 Cw)

서브노트 200제 · 5번 · 중요도 ★★
주제: 비틀림 — 원형·폐단면 비틀림 / 순수비틀림·뒤틀림(J·Cw)

1. 서론

1) 의의

• 비틀림은 부재 축에 대한 모멘트(T)로 단면이 회전하며 전단응력이 발생하는 거동임
• 원형·닫힌 단면은 순수비틀림(Saint-Venant)만으로 저항하나, H형강 등 열린 단면은 뒤틀림(Warping) 비틀림이 함께 작용함
• 편심 하중을 받는 테두리보·캔틸레버·곡선보, 횡비틀림좌굴 검토에서 J·C_w가 핵심 단면성질로 쓰임
• 기출은 ① 원형봉 항복·극한 비틀림, 환봉·강관·각형강관 비교, ② J·C_w 정의와 H형강 순수·뒤틀림 응력 2가지 유형임

2) 구성

• 2장 원형·폐단면 비틀림: 기본가정, 탄성·소성 비틀림, 환봉과 강관 비교, 닫힌 박판(Bredt) 공식, 원형·각형 강관 비교
• 3장 순수비틀림·뒤틀림: J·C_w 정의, 지배방정식, H형강 캔틸레버 응력, 실무 대응
• 4장 결론

2. 원형·폐단면 비틀림

1) 원형단면 비틀림 해석 기본가정 (124회 출제)

가정	내용
평면 유지	비틀림 후에도 횡단면은 평면이며 뒤틀림(warping) 없음
직선 유지	반지름선은 회전 후에도 직선이며 길이 불변
탄성	재료는 균질·등방성, 선형탄성(후크법칙 τ = Gγ) 범위
미소변형	회전각이 작아 축 길이·지름 변화 무시

• 암기: 평면·직선·탄성·미소 (평·직·탄·미) → 비원형 단면은 "평면 유지"가 깨져 뒤틀림 발생

2) 기본식

항목	식	비고
전단응력	τ = T·r/J	중심 0, 외주 최대 (선형 분포)
비틀림각	φ = TL/(GJ)	GJ = 비틀림강성
극관성모멘트	중실 J = πd⁴/32, 중공 J = π(D⁴ − d⁴)/32	원형은 J = Ip
직사각형 (b ≥ t)	J ≈ βbt³ (얇으면 bt³/3)	최대 τ는 긴 변 중앙

3) 항복 비틀림모멘트와 극한(소성) 비틀림모멘트 (96회 출제)

구분	응력 분포	비틀림모멘트
항복 Ty	외주에서 τ = τy, 선형 분포	Ty = τyJ/r = πd³τy/16
탄소성	외곽부터 τy로 소성화, 내부 탄성 코어	Ty < T < Tp
극한 Tp	전 단면 τ = τy (균등)	Tp = ∫τy·ρ·2πρ dρ = 2πr³τy/3 = πd³τy/12
형상계수	—	Tp/Ty = 4/3 ≈ 1.33 (얇은 원관은 ≈ 1.0)

4) 환봉과 원형강관 비교 (110회 출제)

• 조건: 같은 T, 같은 최대전단응력, 강관 외경 D = 1.2d (d = 환봉 지름)
• 동일 τ_max 조건 → J/r 동일: π(D⁴ − D_i⁴)/(16D) = πd³/16 → D_i⁴ = D⁴ − D·d³

항목	계산	결과
내경 Di	(1.2⁴ − 1.2)1/4·d = 0.87361/4·d	0.967d
두께 t	(1.2 − 0.967)/2·d	t ≈ 0.117d
중량비 (강관/환봉)	(1.2² − 0.967²)/1	0.51 (약 49% 절감)
강성비 GJ (강관/환봉)	(1.2⁴ − 0.967⁴)/1 = 1.2	1.20 (20% 증가)

• 결론: 비틀림 전단응력은 외곽이 지배하므로 중심부 재료가 비효율적임 → 같은 강도에서 강관이 가볍고 강성은 큼

5) 닫힌 박판 단면 (Bredt 공식)

항목	식	비고
전단흐름	q = T/(2A0) (일정)	A0: 판 중심선이 둘러싼 면적
전단응력	τ = T/(2A0t)	두께 얇은 곳에서 최대
비틀림상수	J = 4A0²/∮(ds/t)	두께 일정 시 J = 4A0²t/p (p: 둘레)
열린 단면	J = Σbt³/3	두께 3제곱 → 매우 작음

• 암기: 열린 단면은 t³, 닫힌 단면은 A₀² (열t³·닫A²) → 같은 강관에 슬릿을 내면 J가 t²/3R² 배(t/R = 0.1이면 약 1/300)로 급감

6) 원형강관과 각형강관 비틀림각 비 (124회 출제)

항목	원형강관	각형강관 (정사각형)
조건	둘레 p, 두께 t 동일	둘레 p, 두께 t 동일
A0	p²/(4π) = 0.0796p²	p²/16 = 0.0625p²
J = 4A0²t/p	비례 (1/4π)² = 0.00633	비례 (1/16)² = 0.00391
비틀림각 φ ∝ 1/J	1.00	(4/π)² ≈ 1.62배
전단응력 τ ∝ 1/A0	1.00	4/π ≈ 1.27배

3. 순수비틀림·뒤틀림(J·Cw)

1) 비틀림상수 J와 뒤틀림상수 Cw (103회 출제)

구분	비틀림상수 J	뒤틀림상수 Cw
의미	순수(Saint-Venant)비틀림 저항 단면성질	뒤틀림(Warping) 구속 시 저항 단면성질
단위	mm⁴	mm⁶
H형강 (2축 대칭)	J ≈ (2bftf³ + hwtw³)/3	Cw = Iyh0²/4 (h0: 플랜지 중심 간 거리)
원형·닫힌 단면	큼 (4A0²/∮ds/t)	≈ 0 (뒤틀림 거의 없음)
ㄱ·T형 (한 점 교차)	Σbt³/3	≈ 0
응력	전단응력 τ = Gtφ′ (판 두께 내 순환)	뒤틀림 수직응력 σw + 뒤틀림 전단응력 τw
활용	비틀림각, 횡비틀림좌굴 GJ 항	횡비틀림좌굴 ECw 항, 비틀림좌굴

2) 지배방정식과 비틀림 분담

• T = GJφ′ − EC_wφ‴ (φ′ = dφ/dz) → 첫 항 순수비틀림, 둘째 항 뒤틀림비틀림
• 비틀림 특성길이 a = √(EC_w/GJ): 부재 길이 L이 a보다 매우 길면 순수비틀림 지배, 짧으면 뒤틀림 지배
• 암기: 저항은 순수(GJ)와 뒤틀림(EC_w)의 합 (순·뒤)

3) H형강 캔틸레버의 순수비틀림과 뒤틀림 응력 (109회 출제)

위치	경계조건	거동
고정단	φ = 0, φ′ = 0 (뒤틀림 구속)	순수비틀림 0, 뒤틀림이 T 전부 부담 → 플랜지 횡휨 수직응력 σw 최대
중간부	—	순수비틀림 분담이 점차 증가
자유단	φ″ = 0 (뒤틀림 자유)	순수비틀림 지배, σw = 0

단계	플랜지 횡휨 근사(바이모멘트 개념)
① 우력 치환	T ≈ Vf·h0 → 각 플랜지에 반대 방향 횡력 Vf = T/h0
② 플랜지 휨	각 플랜지를 약축 방향 캔틸레버로 보고 Mf = Vf·L (뒤틀림 단독 가정 시 상한)
③ 뒤틀림 수직응력	σw = Mf/(tfbf²/6), 플랜지 끝에서 최대
④ 바이모멘트	B = Mf·h0, σw = B·Wn/Cw

4) 계산 예: H-400×200×8×13

항목	계산	결과
J	(2×200×13³ + 374×8³)/3	3.57×10⁵ mm⁴
Iy	2×13×200³/12 + 374×8³/12	17.35×10⁶ mm⁴
Cw	17.35×10⁶ × 387²/4	6.50×10¹¹ mm⁶
a (E/G = 2.6)	√(2.6 × 6.50×10¹¹ / 3.57×10⁵)	약 2.2 m → 수 m 경간에서 뒤틀림 무시 불가

5) 문제점과 개선방안

문제점	개선방안
열린 단면 비틀림강성 매우 작음 (J ∝ t³)	비틀림 지배 부재는 각형강관·박스 등 닫힌 단면 채택
편심 하중으로 테두리보·외부보 비틀림	하중을 전단중심에 통과, 슬래브·소보로 비틀림 구속, 비틀림 보강
고정단 뒤틀림 구속 → 플랜지 끝 응력 집중	σw 포함 조합응력 검토, 단부 스티프너·박스화
횡비틀림좌굴	횡지지 간격 축소, J·Cw 큰 단면 선택

4. 결론

• 원형·닫힌 단면은 (평·직·탄·미) 가정의 순수비틀림(τ = Tr/J, T_p/T_y = 4/3)으로, 열린 단면은 (순·뒤) 합으로 저항함
• 성패 요인은 (열t³·닫A²)에 따른 단면 형상 선택과 고정단 뒤틀림 구속에 의한 수직응력 검토임
• 실무에서는 비틀림 지배 부재에 닫힌 단면을 쓰고, 하중 편심 제거·횡지지 확보로 비틀림과 횡비틀림좌굴을 함께 제어해야 함

참고 및 출처

• Torsion (mechanics) (Wikipedia)
• Torsion constant (Wikipedia)
• 국가건설기준센터 KCSC (건축구조기준 KDS 41)

※ 법령·기준은 개정될 수 있으므로 최신 규정을 확인할 것.