서브노트 200제 · 3번 · 중요도 ★★★
주제: 응력변환·주응력(모어원) — 모어원·주응력 산정 / 조합하중 부재 주응력(간판·기둥) / 응력텐서·정수압응력
1. 서론
1) 의의
- 응력변환은 한 점의 응력상태를 임의 방향 면으로 회전시켜 그 면의 수직응력·전단응력을 구하는 것임
- 주응력은 전단응력이 0인 면(주응력면)의 수직응력으로 최대·최소값이며, 취성재 균열 방향·RC 사인장균열·항복 판정의 기준이 됨
- 모어원(Mohr's Circle)은 응력변환식을 원으로 도식화하여 주응력·최대전단응력·방향각을 직관적으로 산정하는 방법임
- 기출은 ① 모어원 작도·주응력 산정, ② 간판·표지판 기둥의 휨+비틀림+전단 조합응력, ③ 응력텐서·정수압응력 개념 3가지 유형임
2) 구성
- 2장 모어원·주응력 산정: 응력변환식, 모어원 작도, 계산 예, 응력블록 회전
- 3장 조합하중 부재 주응력: 간판 지지 원형강관 기둥의 단면력·검토점·계산 예
- 4장 응력텐서·정수압응력: 텐서 개념, 불변량, 정수압·편차응력
- 5장 결론
2. 모어원·주응력 산정
1) 응력변환식
| 구분 |
식 |
비고 |
| 경사면 수직응력 |
σθ = (σx+σy)/2 + (σx−σy)/2·cos2θ + τxy·sin2θ |
θ: x축에서 반시계 + |
| 경사면 전단응력 |
τθ = −(σx−σy)/2·sin2θ + τxy·cos2θ |
σ 인장 + |
| 주응력 방향 |
tan2θp = 2τxy / (σx−σy) |
두 주응력면은 서로 90° |
| 주응력 |
σ1,2 = (σx+σy)/2 ± √[((σx−σy)/2)² + τxy²] |
주응력면에서 τ = 0 |
| 최대 면내전단응력 |
τmax = √[((σx−σy)/2)² + τxy²] = (σ1−σ2)/2 |
주응력면과 45° 차이, 그 면에 σavg 작용 |
| 불변량 |
σx + σy = σ1 + σ2 |
검산에 활용 |
2) 모어원 작도 순서
| 순서 |
내용 |
핵심 |
| ① 중심 |
σ축 위 C = (σx+σy)/2 |
τ축은 아래 방향 +로 설정 시 회전방향 일치 |
| ② 반지름 |
R = √[((σx−σy)/2)² + τxy²] |
R = τmax |
| ③ 점 표시 |
X(σx, τxy), Y(σy, −τxy) 표시 후 직경 연결 |
X는 x면, Y는 y면 응력 |
| ④ 각 읽기 |
원 위 2θ 회전 = 요소 θ 회전 (같은 방향) |
σ1까지 각 = 2θp |
- 암기: 중심 → 반지름 → 점 → 각 (중·반·점·각) (원 위 각도는 항상 2배)
3) 계산 예 (89·130회 유형)
- 조건: σx = 80 MPa(인장), σy = −40 MPa(압축), τxy = 30 MPa
| 항목 |
계산 |
결과 |
| 중심 C |
(80 − 40)/2 |
20 MPa |
| 반지름 R |
√(60² + 30²) |
67.1 MPa |
| σ1, σ2 |
20 ± 67.1 |
87.1 / −47.1 MPa |
| θp |
tan2θp = 60/120 = 0.5 → 2θp = 26.6° |
θp = 13.3° (반시계) |
| τmax |
R |
67.1 MPa (θs = 13.3° − 45° = −31.7°) |
| 검산 |
σθ(13.3°) = 20 + 60·cos26.6° + 30·sin26.6° |
87.1 MPa (일치) |
4) 특수 응력상태
| 응력상태 |
모어원 형태 |
특징 |
| 단축인장 (σ, 0) |
원점을 지나는 원 |
τmax = σ/2, 45°면 (연성재 전단 미끄럼) |
| 순수전단 (0, 0, τ) |
원점 중심 원 |
σ1,2 = ±τ, 45° 방향 → 비틀림 시 취성재 나선형 파괴 |
| 등2축 (σ, σ) |
점(원 소멸) |
모든 면 τ = 0 |
| 보 웨브 중립축 |
순수전단 |
RC보 사인장균열이 45°로 발생하는 근거 |
3. 조합하중 부재 주응력(간판·기둥)
1) 문제 유형 (129·136회 출제)
- 편심 위치의 간판(표지판)에 풍압이 작용하면 지지 기둥 하단에 휨·비틀림·전단이 동시에 발생함
- 각 응력의 최대점이 서로 달라 검토점을 2곳 이상 잡아 주응력·최대전단응력을 비교해야 함
- 암기: 휨(M = P·H), 비틀림(T = P·e), 전단(V = P) (휨·비·전)
2) 단면력과 응력 산정식 (중공원형 단면)
| 단면력 |
응력 |
최대 위치 |
| 휨 M = P·H |
σ = M/Z, Z = π(D⁴−d⁴)/(32D) |
풍방향 최외단 (A점) |
| 비틀림 T = P·e |
τT = T·r/J, J = π(D⁴−d⁴)/32 |
외주면 전체 균등 (A·B점) |
| 전단 V = P |
τV ≈ 2V/A (얇은 원관), 중실원은 4V/3A |
중립축 (B점), 최외단 A점은 0 |
3) 계산 예
- 조건: 원형강관 D = 200 mm, t = 10 mm, 풍하중 P = 10 kN, 높이 H = 4 m, 편심 e = 1.5 m
| 항목 |
계산 |
결과 |
| 단면성질 |
A = 5,969 mm², I = 27.01×10⁶ mm⁴, Z = 270.1×10³ mm³, J = 2I |
— |
| 단면력 |
M = 10×4 = 40 kN·m, T = 10×1.5 = 15 kN·m, V = 10 kN |
— |
| σ (휨) |
40×10⁶ / 270.1×10³ |
148.1 MPa |
| τT (비틀림) |
15×10⁶×100 / 54.02×10⁶ |
27.8 MPa |
| τV (전단) |
2×10×10³ / 5,969 |
3.4 MPa |
| A점 (σ = 148.1, τ = 27.8) |
σ1,2 = 74.0 ± √(74.0² + 27.8²) = 74.0 ± 79.1 |
σ1 = 153.1, σ2 = −5.0, τmax = 79.1 MPa |
| B점 (σ = 0, τ = 31.1) |
순수전단 → σ1,2 = ±31.1 |
τmax = 31.1 MPa |
| 판정 |
A점이 지배, 강재는 von Mises 등가응력 √(σ² + 3τ²) ≈ 155.7 MPa로 검토 |
허용·설계강도와 비교 |
4) 실무 유의사항
| 문제점 |
개선방안 |
| 편심 간판 → 비틀림 누락 |
간판 도심과 기둥축 거리 e를 반드시 반영, 양측 대칭 배치 검토 |
| 검토점 1곳만 확인 |
휨 최대점(A)과 전단 최대점(B)을 모두 검토 |
| 기초·앵커볼트 과소 |
기둥 하단 M·T를 앵커볼트·베이스플레이트·기초 전도 검토에 반영 |
| 피로·진동 |
풍하중 반복에 의한 용접부 피로, 와류진동 검토 |
4. 응력텐서·정수압응력
1) 스칼라·벡터·텐서 (104회 출제)
| 구분 |
차수 |
성분 수(3차원) |
예 |
| 스칼라 |
0차 |
1 |
온도, 질량, 에너지, 일, 압력(크기) |
| 벡터 |
1차 |
3 |
힘, 변위, 속도, 가속도, 모멘트 |
| 텐서 |
2차 |
9 |
응력, 변형률, 관성모멘트 텐서(Ix, Iy, Ixy) |
- 암기: 스·벡·텐 = 0·1·2차 (스·벡·텐 = 0·1·2) → 성분 수 3ⁿ (1·3·9)
- 텐서는 좌표축 회전 시 정해진 변환법칙을 따르는 양이며, 응력변환식이 곧 2차 텐서 변환식임
2) 응력텐서와 주응력 (94회 출제)
| 항목 |
내용 |
| 2차원 응력텐서 |
[σ] = [[σx, τxy], [τyx, σy]], 모멘트 평형으로 τxy = τyx (대칭텐서) |
| 주응력 = 고유값 |
det([σ] − λ[I]) = 0 → λ² − I1λ + I2 = 0 |
| 불변량 |
I1 = σx + σy, I2 = σxσy − τxy² (축 회전과 무관) |
| 주방향 = 고유벡터 |
고유값 대입 후 ([σ] − λ[I])n = 0으로 방향 n 산정 |
| 3차원 확장 |
I1 = σx+σy+σz, I3 = det[σ], 주응력 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, τmax = (σ1−σ3)/2 |
| 검산 예 |
앞 예제: I1 = 40, I2 = 80×(−40) − 30² = −4,100 → λ = 20 ± √(400 + 4,100) = 87.1, −47.1 (일치) |
3) 정수압응력과 편차응력 (104회 출제)
| 구분 |
정수압응력(Hydrostatic) |
편차응력(Deviatoric) |
| 정의 |
σm = (σ1+σ2+σ3)/3 = I1/3, 모든 방향 동일 |
sij = σij − σmδij |
| 전단응력 |
모든 면에서 τ = 0 (모어원이 한 점으로 축소) |
전단응력 유발 |
| 변형 |
체적 변화만 발생 |
형상 변화(뒤틀림) 발생 |
| 항복 관계 |
연성 금속의 항복에 거의 무관 |
von Mises·Tresca 항복의 원인 |
| 예 |
심해 수압, 지중 구속압, 삼축압축 구속 콘크리트 |
일반 부재 응력에서 정수압 성분을 뺀 값 |
- 결론: 정수압응력 상태는 모든 면이 주응력면이므로 어떤 면에도 전단응력이 존재하지 않음 → 모어원 반지름 R = 0
5. 결론
- 응력변환은 모어원 (중·반·점·각)으로 주응력·최대전단응력·방향각을 산정하며, 원 위 각도는 요소 회전각의 2배임
- 성패 요인은 부호규약 통일, 조합하중에서 (휨·비·전) 최대점별 검토, 텐서 불변량(σx+σy = σ1+σ2) 검산임
- 실무에서는 편심 간판·표지판 기둥의 비틀림을 누락하지 말고, 주응력·등가응력으로 부재·접합부·기초를 함께 검토해야 함
참고 및 출처
※ 법령·기준은 개정될 수 있으므로 최신 규정을 확인할 것.