건축구조기술사 서브노트 200제 1번 | 단면2차모멘트·단면성질 (도심, 평행축정리, 단면상승모멘트, 주축)

서브노트 200제 · 1번 · 중요도 ★★★
주제: 단면2차모멘트·단면성질 — 도심·단면2차모멘트 산정 / 단면상승모멘트·주축 / 최적단면·단면계수

1. 서론

1) 의의

• 단면성질은 부재 단면의 형상만으로 결정되는 기하학적 특성값으로 응력·처짐·좌굴 산정의 출발점임
• 도심은 휨 중립축의 위치를, 단면2차모멘트(I)는 휨강성(EI)을, 단면계수(Z)는 휨강도를 지배함
• 비대칭 단면은 단면상승모멘트(I_xy)가 0이 아니므로 주축을 구해야 2축 휨·좌굴 거동을 정확히 평가할 수 있음
• 기출은 ① 도심·I 산정 계산, ② L형 등 비대칭 단면의 주축 산정, ③ 원목에서 켜낸 최적 직사각형 단면 3가지 유형으로 반복 출제됨

2) 구성

• 2장 도심·단면2차모멘트 산정: 정의, 평행축 정리, 기본도형 공식, 반원 도심 유도, 빗금 단면 계산법
• 3장 단면상승모멘트·주축: 정의·부호, 주축 변환식, 산정 절차, L형 단면 계산 예
• 4장 최적단면·단면계수: 원형 단면에서 켜낸 직사각형의 전단·강도·처짐 최적 조건 유도
• 5장 결론: 핵심 정리와 실무 대응

2. 도심·단면2차모멘트 산정

1) 용어 정의

구분	정의식	의미·활용
단면1차모멘트(Q)	Qx = ∫y dA = A·ȳ	도심 산정, 전단응력 τ = VQ/(Ib) 산정
도심	ȳ = ΣAiyi / ΣAi	단면1차모멘트가 0이 되는 점, 탄성 중립축 위치
단면2차모멘트(I)	Ix = ∫y² dA	휨강성 EI, 처짐·응력 σ = My/I 산정
단면계수(Z)	Z = Ic / ymax	최대 휨응력 σmax = M/Z, 휨강도 지표
회전반경(r)	r = √(I/A)	세장비 λ = KL/r, 좌굴 검토
극2차모멘트(Ip)	Ip = ∫r² dA = Ix + Iy	원형 단면 비틀림 τ = Tr/J 산정

2) 평행축 정리

• 임의 축에 대한 단면2차모멘트는 도심축 값 + 면적×거리²로 구함 → I = I_c + A·d²
• 합성 단면은 요소별 I_ci와 A_id_i²를 합산함 → I = Σ(I_ci + A_id_i²)
• 도심축의 I가 모든 평행축 중 최소값임 (A·d² ≥ 0)
• 주의: 평행축 이동은 반드시 도심축을 경유해야 함 (임의축 → 임의축 직접 이동 불가)

3) 기본 도형의 단면성질

도형	면적 A	도심 위치	도심축 Ic	단면계수 Z
직사각형 (b×h)	bh	h/2	bh³/12	bh²/6
삼각형 (밑변 b, 높이 h)	bh/2	밑변에서 h/3	bh³/36	bh²/24 (꼭짓점측)
원 (지름 d)	πd²/4	중심	πd⁴/64	πd³/32
반원 (반지름 r)	πr²/2	지름에서 4r/3π	(π/8 − 8/9π)r⁴ ≈ 0.1098r⁴	—
중공원 (D, d)	π(D²−d²)/4	중심	π(D⁴−d⁴)/64	π(D⁴−d⁴)/32D

4) 반원 도심 위치 유도 (139회 출제)

단계	내용
① 극좌표 설정	미소면적 dA = ρ dρ dθ, 거리 y = ρ sinθ (0 ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ θ ≤ π)
② 단면1차모멘트	Qx = ∫∫ρ² sinθ dρ dθ = (r³/3)·[−cosθ]0π = 2r³/3
③ 면적	A = πr²/2
④ 도심	ȳ = Qx/A = (2r³/3)/(πr²/2) = 4r/3π ≈ 0.424r
⑤ 도심축 I	I지름축 = πr⁴/8 → Ic = πr⁴/8 − (πr²/2)(4r/3π)² = (π/8 − 8/9π)r⁴

• 검산: 1/4원 도심은 양 방향 모두 4r/3π, 반원 띠(가는 원호) 도심은 2r/π임

5) 빗금 단면(복합 단면) 산정 요령 (137회 출제)

단계	방법	유의사항
① 요소 분할	기본 도형으로 분할하거나 전체 − 공제(구멍)로 처리	공제 요소는 면적·I를 (−)로 입력
② 도심 산정	기준축을 정해 표로 ΣA·y / ΣA 계산	대칭축이 있으면 그 축 위에 도심 존재
③ I 산정	요소별 Ici + Aidi² 합산	di는 요소 도심 ~ 전체 도심 거리
④ 검산	I기준축 = Ic + A·ȳ² 로 역검산	단위 mm⁴ 자릿수 확인

3. 단면상승모멘트·주축

1) 단면상승모멘트(I_xy) 정의와 특성

항목	내용
정의	Ixy = ∫xy dA (단위 mm⁴)
부호	양(+)·음(−)·0 모두 가능 → 미소면적이 놓인 사분면에 따라 결정
평행축 정리	Ixy = Ixyc + A·dx·dy (dx, dy는 부호 포함)
대칭 단면	x·y축 중 하나라도 대칭축이면 Ixy = 0 → 그 축이 곧 주축
직사각형 요소	자기 도심축에 대해 Ixyc = 0 → 합성 시 A·dx·dy 항만 남음
구조적 의미	Ixy ≠ 0이면 한 축 방향 하중에도 2축 휨(비대칭 휨) 발생, 중립축이 하중면과 직교하지 않음

2) 주축과 주단면2차모멘트

• 주축: 단면상승모멘트가 0이 되는 직교축 쌍(u, v)이며, 이 축에 대한 I가 최대(I_max)·최소(I_min)임
• 주축 각도: tan 2θ_p = −2I_xy / (I_x − I_y) (반시계 방향 +)
• 주단면2차모멘트: I_max,min = (I_x+I_y)/2 ± √[((I_x−I_y)/2)² + I_xy²]
• 불변량: I_x + I_y = I_u + I_v = I_p (축 회전과 무관) → 계산 검산에 활용
• 모어원 표현: 중심 (I_x+I_y)/2, 반지름 √[((I_x−I_y)/2)² + I_xy²]인 원 위에서 2θ 회전
• 좌굴·처짐은 I_min 축(약축)이 지배함 → ㄱ형강 단일 압축재의 좌굴은 주축 v 기준으로 검토함

3) 산정 절차

순서	내용	핵심 식
도심	기준축에서 요소 면적·도심으로 전체 도심 (x̄, ȳ) 산정	x̄ = ΣAx/ΣA, ȳ = ΣAy/ΣA
이차모멘트	요소별 평행축 정리로 도심축 Ix, Iy 산정	I = Σ(Ic + Ad²)
상승모멘트	요소별 A·dx·dy 합산 (부호 주의)	Ixy = Σ(Ixyc + A dxdy)
주축	주축 각도·Imax·Imin 산정 후 불변량 검산	tan 2θp, Imax,min

• 암기: 도심 → 이차모멘트 → 상승모멘트 → 주축 (도·이·상·주)

4) L형 단면 계산 예 (96·118·124회 유형)

• 조건: 세로 다리 20×200 mm(x = 0~20), 가로 다리 100×20 mm(x = 20~120, y = 0~20), 원점은 좌하단

요소	A (mm²)	xi	yi	dx	dy	A·dx·dy (×10⁶)
① 세로	4,000	10	100	−20	+30	−2.4
② 가로	2,000	70	10	+40	−60	−4.8
합계	6,000	x̄ = 30	ȳ = 70			Ixy = −7.2

항목	계산	결과 (×10⁶ mm⁴)
Ix	20·200³/12 + 4,000·30² + 100·20³/12 + 2,000·60²	24.2
Iy	200·20³/12 + 4,000·20² + 20·100³/12 + 2,000·40²	6.6
θp	tan 2θp = −2(−7.2)/(24.2 − 6.6) = 0.818	θp ≈ 19.6° (반시계)
Imax, Imin	15.4 ± √(8.8² + 7.2²) = 15.4 ± 11.37	26.77 / 4.03
검산	Ix + Iy = 30.8 = Imax + Imin	OK

4. 최적단면·단면계수

1) 문제 설정 (104·140회 출제)

• 지름 d인 원목에서 폭 b, 춤 h의 직사각형 보를 켜낼 때 구속조건은 b² + h² = d²임
• 목적에 따라 극대화할 단면성질이 달라짐: 전단 → bh, 강도 → Z = bh²/6, 처짐 → I = bh³/12
• 풀이: h² = d² − b²를 대입하고 b로 미분하여 0으로 두면 최적 b 산정

2) 조건별 최적 치수 유도

목적	극대화 함수	미분 조건	최적 치수	h/b
전단응력 최소 (τmax = 1.5V/bh)	bh	d(b²h²)/db = 0	b = h = d/√2	1 (정사각형)
강도(휨) 최대 (σ = M/Z)	Z = b(d² − b²)/6	d² − 3b² = 0	b = d/√3, h = √(2/3)·d	√2 ≈ 1.41
처짐 최소 (δ ∝ 1/EI)	I ∝ b²(d² − b²)³	d² − b² = 3b²	b = d/2, h = √3·d/2	√3 ≈ 1.73

• 암기: 전단 1, 강도 √2, 처짐 √3 → 목적이 엄격할수록 춤이 커짐 (전·강·처 = 1·√2·√3)

3) 최대 단면계수와 단면 효율

항목	값	비고
최대 단면계수 Zmax	d³/(9√3) ≈ 0.0642d³	b = d/√3, h = √(2/3)·d 대입
원 단면 Z (참고)	πd³/32 ≈ 0.0982d³	원목 그대로 사용 시
최대 I (처짐 최적)	√3·d⁴/64 ≈ 0.0271d⁴	b = d/2, h = √3·d/2 대입
소성단면계수 Zp	bh²/4 → 동일하게 h/b = √2에서 최대	형상계수 1.5로 일정
정사각형 대비	Z: 정사각형 d³/(12√2) ≈ 0.0589d³	강도 최적 단면이 약 9% 유리

4) 실무 시사점

구분	내용
단면 선정	휨이 지배하면 춤이 큰 단면이 유리하나, 춤이 과도하면 횡좌굴·웨브 국부좌굴 위험 증가
목구조	제재목은 강도 최적(h/b ≈ √2) 근처, 처짐 지배 장스팬은 h/b를 더 크게 하고 횡지지 확보
단면 효율	재료를 중립축에서 멀리 배치할수록 효율↑ → H형강·박스·I형 단면 채택 근거
검토 순서	강도(Z) → 사용성(I) → 안정(r, 판폭두께비) 순으로 단면성질 확인

5. 결론

• 단면성질은 도심 → 이차모멘트(평행축) → 상승모멘트 → 주축 순으로 산정하며 (도·이·상·주), 모든 응력·처짐·좌굴 검토의 출발점임
• 성패 요인은 평행축 정리의 도심축 경유, I_xy 부호 처리, 불변량(I_x+I_y) 검산이며, 최적단면은 (전·강·처 = 1·√2·√3)로 즉답함
• 실무에서는 비대칭 단면의 약축(I_min) 좌굴을 확인하고, 강도·사용성·안정성을 함께 고려하여 단면을 선정해야 함

참고 및 출처

• Second moment of area (Wikipedia)
• List of second moments of area (Wikipedia)
• Section modulus (Wikipedia)
• Mohr's circle (Wikipedia)
• 국가건설기준센터 KCSC (건축구조기준 KDS 41)

※ 법령·기준은 개정될 수 있으므로 최신 규정을 확인할 것.