건축구조기술사 서브노트 200제 4번 | 항복조건·다축응력·평면응력 (Von Mises, Tresca, 일반화 후크법칙, 평면변형률)

서브노트 200제 · 4번 · 중요도 ★★★★
주제: 항복조건·다축응력·평면응력 — 항복이론(Von Mises·Tresca) / 3축응력·후크법칙·탄성상수 / 평면응력·평면변형률

1. 서론

1) 의의

• 항복조건은 다축응력 상태의 재료가 언제 항복하는지를 단축 인장시험값(σ_y)으로 판정하는 기준임
• 일반화 후크법칙은 3축응력과 변형률의 관계를 E, ν, G로 표현하며 체적변화·구속응력 산정의 기초가 됨
• 평면응력·평면변형률은 3차원 문제를 2차원으로 단순화하는 가정으로 판·셸, 댐·옹벽·지하외벽 해석과 FEM 요소 선택에 직결됨
• 기출은 ① Mises·Tresca 비교와 취성재 파괴 원리, ② 3축응력·탄성상수·체적변화, ③ 평면응력·평면변형률 비교 3가지 유형임

2) 구성

• 2장 항복이론: 주요 이론 비교, Mises·Tresca 식, 항복곡면, 인장에 약한 재료가 전단에 약한 이유
• 3장 3축응력·후크법칙·탄성상수: 3축 최대전단응력, 일반화 후크법칙, 탄성상수 관계, 인장시험·체적변화 계산 예
• 4장 평면응력·평면변형률: 정의·구성식·적용 구조물 비교
• 5장 결론

2. 항복이론(Von Mises·Tresca)

1) 주요 파괴·항복이론 비교

이론	판정 기준	적용 재료	특징
최대주응력설 (Rankine)	σ1 = ft 또는 |σ3| = fc	취성재 (콘크리트·주철·유리)	인장 파괴 판정에 단순·유효
트레스카 (Tresca)	최대전단응력 τmax = (σ1−σ3)/2 = σy/2	연성재 (강재)	보수적, 육각형 항복곡면
폰 미세스 (von Mises)	뒤틀림(전단변형)에너지가 단축항복 시와 같을 때 항복	연성재 (강재)	실험과 가장 근접, 타원 항복곡면
모어-쿨롱 (Mohr-Coulomb)	τ = c + σ tanφ	흙·암반·콘크리트	인장·압축 강도가 다른 재료

• 암기: 트레스카는 전단, 미세스는 뒤틀림 (트전·미뒤)

2) Mises·Tresca 항복식 (130·134회 출제)

구분	Tresca	von Mises
3축 주응력	max(|σ1−σ2|, |σ2−σ3|, |σ3−σ1|) = σy	√{½[(σ1−σ2)² + (σ2−σ3)² + (σ3−σ1)²]} = σy
평면응력 (σ3 = 0)	육각형	σ1² − σ1σ2 + σ2² = σy² (타원)
보 (σ, τ 조합)	√(σ² + 4τ²) = σy	√(σ² + 3τ²) = σy
순수전단 항복	τy = 0.5 σy	τy = σy/√3 ≈ 0.577 σy
정수압응력 영향	없음	없음 (편차응력만 항복에 기여)
특징	보수적, 손계산 간편	연속·미분 가능 곡면, FEM·강재 설계에 주로 사용

• 두 이론은 단축인장·등2축에서 일치하고, 순수전단에서 최대 약 15% 차이남 (0.5 vs 0.577)
• 강재 전단항복강도를 약 0.6F_y로 보는 설계 관행은 Mises 기준 0.577F_y에 근거함

3) 인장강도가 약한 재료가 전단강도도 약한 이유 (90회 출제)

단계	내용
① 순수전단 응력상태	모어원 중심이 원점 → σ1 = +τ, σ2 = −τ (45° 방향)
② 주인장응력 발생	전단력은 45° 방향 주인장응력과 등가임
③ 취성재 파괴	인장강도 ft가 작은 재료는 σ1 = τ = ft에서 인장 파괴 → 전단강도 ≈ 인장강도
④ 사례	콘크리트 보 사인장균열(45°), 분필·주철 비틀림 시 45° 나선형 파단
⑤ 연성재 비교	강재는 전단항복이 먼저 발생 → 인장시험에서 45° 전단 미끄럼(컵-콘 파단)

3. 3축응력·후크법칙·탄성상수

1) 3축응력 상태의 최대전단응력 (132회 출제)

• 주응력 σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃일 때 모어원은 3개이며 가장 큰 원이 지배 → τ_max = (σ₁ − σ₃)/2
• 주의: 평면응력이라도 σ₁, σ₂가 같은 부호이면 σ₃ = 0을 포함해야 함 → 예) σ₁ = 100, σ₂ = 40 MPa이면 면내 τ = 30이나 절대 최대 τ = 50 MPa

2) 일반화 후크법칙

구분	식
수직변형률	εx = [σx − ν(σy + σz)]/E (y, z 동일 순환)
전단변형률	γxy = τxy/G, γyz = τyz/G, γzx = τzx/G
체적변형률	εv = ΔV/V = εx + εy + εz = (1 − 2ν)(σx + σy + σz)/E
단축인장 체적변화	ΔV/V = ε(1 − 2ν) → ν = 0.5이면 체적 불변

3) 탄성상수 관계

상수	정의	관계식
탄성계수 E	σ/ε (단축)	기본 상수
포아송비 ν	−ε횡/ε축	0 ≤ ν ≤ 0.5 (강재 약 0.3, 콘크리트 약 0.15~0.2)
전단탄성계수 G	τ/γ	G = E / 2(1 + ν)
체적탄성계수 K	σm/εv	K = E / 3(1 − 2ν) (ν → 0.5이면 K → ∞, 비압축성)

• 암기: G는 2(1+ν), K는 3(1−2ν) (지2·케3) → 독립 탄성상수는 등방성 재료에서 2개(E, ν)뿐임

4) 계산 예 (132·138·139회 유형)

• ① 3축응력: σ_x = 100, σ_y = 40, σ_z = −20 MPa, E = 200 GPa, ν = 0.3

항목	계산	결과
τmax	(100 − (−20))/2	60 MPa
εx	[100 − 0.3(40 − 20)]/200,000	4.70×10⁻⁴
εy	[40 − 0.3(100 − 20)]/200,000	0.80×10⁻⁴
εz	[−20 − 0.3(100 + 40)]/200,000	−3.10×10⁻⁴
εv	합계 = (1 − 0.6)×120/200,000	2.40×10⁻⁴ (일치)

• ② 인장시험: 지름 20 mm 봉, P = 50 kN, 측정 ε_축 = 7.96×10⁻⁴, ε_횡 = −2.39×10⁻⁴, 표점거리 200 mm

항목	계산	결과
응력	50,000 / (π×20²/4) = 50,000/314.2	159.2 MPa
E	159.2 / 7.96×10⁻⁴	200 GPa
ν	2.39 / 7.96	0.30
G	200 / 2(1 + 0.30)	76.9 GPa
체적변화율	7.96×10⁻⁴ × (1 − 0.6)	3.18×10⁻⁴ (V = 62,832 mm³ → ΔV ≈ 20 mm³ 증가)

4. 평면응력·평면변형률

1) 정의와 비교 (90·91·129회 출제)

구분	평면응력 (Plane Stress)	평면변형률 (Plane Strain)
가정	σz = τxz = τyz = 0	εz = γxz = γyz = 0
z방향	εz = −ν(σx + σy)/E ≠ 0 (두께 변화 발생)	σz = ν(σx + σy) ≠ 0 (구속응력 발생)
형상	두께가 다른 치수보다 매우 얇은 부재	한 방향 길이가 매우 긴 부재, 단면 형상·하중 일정
적용 예	얇은 판·셸, 보 웨브, 깊은보·전단벽(면내 하중)	댐·옹벽·터널·지하외벽·긴 파이프·연속기초
무시 가능 변형률	—	길이 방향 수직·전단변형률 εz, γxz, γyz
상대 강성	작음	큼 (z방향 구속으로 강성 증가)

• 암기: 응력은 얇게, 변형률은 길게 (응얇·변길)

2) 응력-변형률 관계식 (90회 출제)

구분	변형률 → 응력	응력 → 변형률
평면응력	σx = E(εx + νεy)/(1 − ν²) σy = E(εy + νεx)/(1 − ν²) τxy = Gγxy = E/2(1+ν)·γxy	εx = (σx − νσy)/E εy = (σy − νσx)/E γxy = τxy/G
평면변형률	σx = E[(1−ν)εx + νεy]/[(1+ν)(1−2ν)] σy = E[(1−ν)εy + νεx]/[(1+ν)(1−2ν)] τxy = Gγxy	εx = (1+ν)[(1−ν)σx − νσy]/E εy = (1+ν)[(1−ν)σy − νσx]/E

• 유도 요령: 평면응력은 후크법칙에 σ_z = 0 대입 후 연립, 평면변형률은 ε_z = 0에서 σ_z = ν(σ_x+σ_y)를 구해 대입함
• 평면변형률 식은 평면응력 식에서 E → E/(1−ν²), ν → ν/(1−ν)로 치환하여 얻을 수 있음

3) 실무 적용

구분	내용
FEM 요소 선택	벽체·깊은보 면내 해석은 평면응력 요소, 옹벽·지하외벽·터널 단면 해석은 평면변형률 요소 사용
잘못 적용 시	평면변형률 구조를 평면응력으로 해석하면 강성 과소·변위 과대 평가
파괴역학	두꺼운 강판(평면변형률)은 3축 구속으로 취성파괴 위험 증가 → 후판 인성 요구
콘크리트 구속	3축 압축 구속(나선철근·CFT) 시 강도·연성 증가 → 정수압 성분의 효과

5. 결론

• 다축응력의 항복은 (트전·미뒤)로 판정하며, 강재는 von Mises(τ_y ≈ 0.577σ_y), 취성재는 최대주응력(인장) 기준이 지배함
• 성패 요인은 3축 τ_max = (σ₁−σ₃)/2에서 σ₃ = 0 누락 방지, 탄성상수 (지2·케3)와 체적변형률 (1−2ν) 활용임
• 실무에서는 구조 형상에 따라 (응얇·변길)로 해석 가정을 선택하고, 구속에 의한 강성·취성 변화를 함께 고려해야 함

참고 및 출처

• Von Mises yield criterion (Wikipedia)
• Yield (engineering) (Wikipedia)
• Hooke's law (Wikipedia)
• Plane stress (Wikipedia)
• Infinitesimal strain theory (Wikipedia)
• 국가건설기준센터 KCSC (건축구조기준 KDS 41)

※ 법령·기준은 개정될 수 있으므로 최신 규정을 확인할 것.