서브노트 300제 · 5번 · 중요도 ★★★★
주제: 맥스웰 방정식 및 전자기이론 — 맥스웰 방정식(미분형·변위전류·파동방정식) / 자계 세기 계산(비오-사바르·암페어) / 전자기력 계산(플레밍 법칙)
1. 서론
1) 의의
- 맥스웰 방정식은 가우스·패러데이·암페어 법칙에 변위전류를 더해 전계와 자계의 관계를 4개 식으로 통합한 전자기학의 기본 방정식임
- 이 식에서 전자파의 존재와 전파속도(광속)가 유도되며, 변압기·전동기·케이블·접지·EMC 등 모든 전기설비의 이론적 기반이 됨
- 최근 1교시에 거의 매회 출제(135·139회 1번)되는 고빈도 주제로, 수식 + 물리적 의미를 함께 써야 고득점이 가능함
2) 구성
- 2장: 맥스웰 방정식 — 4식의 미분형·적분형과 의미, 변위전류, 파동방정식 유도
- 3장: 자계 세기 계산 — 비오-사바르 법칙, 암페어 주회적분 법칙, 직선도선·원형코일·솔레노이드 자계
- 4장: 전자기력 계산 — 플레밍 왼손·오른손 법칙, 평행도선 간 힘과 단락 전자력
- 5장: 결론 — 전자기이론의 흐름과 실무 연계 정리
2. 맥스웰 방정식(미분형·변위전류)
1) 맥스웰 방정식 4식
| 구분 |
미분형 |
적분형 |
물리적 의미 |
| 가우스 법칙(전계) |
∇·D = ρ |
∮D·dS = Q |
전하가 전계의 근원 → 전기력선은 전하에서 발산함 |
| 가우스 법칙(자계) |
∇·B = 0 |
∮B·dS = 0 |
자극은 단독으로 존재하지 않음 → 자력선은 폐곡선임 |
| 패러데이 법칙 |
∇×E = −∂B/∂t |
∮E·dl = −dΦ/dt |
자속 변화가 회전 전계(기전력)를 만듦 → 변압기·발전기 원리 |
| 암페어-맥스웰 법칙 |
∇×H = J + ∂D/∂t |
∮H·dl = I + dΨ/dt |
전도전류와 변위전류가 회전 자계를 만듦 |
- 4식 암기: 가우스(전) · 가우스(자) · 패러데이 · 암페어 (가가패암) — 앞 2식은 발산(div), 뒤 2식은 회전(rot)
- 보조(구성) 방정식: D = εE, B = μH, J = σE — 매질의 성질(유전율·투자율·도전율)을 연결함
- 맥스웰 방정식의 의의: 전기·자기 현상의 통합, 전자파 존재 예견, 빛이 전자파임을 증명(광속 유도)
2) 변위전류(Displacement Current)
- 정의: 유전체(절연체) 안에서 전속밀도의 시간적 변화로 생기는 등가 전류임 → Jd = ∂D/∂t = ε·∂E/∂t [A/m²]
- 도입 배경: 콘덴서 극판 사이에는 전도전류가 없어 기존 암페어 법칙(∇×H = J)이 전류 연속성(∇·J = −∂ρ/∂t)과 모순됨 → 맥스웰이 ∂D/∂t 항을 추가해 해결함
- 특징: 실제 전하 이동이 없어도 자계를 만들고, 주파수에 비례해 커짐 → 고주파일수록 중요함
| 구분 |
전도전류 |
변위전류 |
| 원인 |
자유전자(전하)의 이동 |
전계(전속밀도)의 시간 변화 |
| 식 |
Jc = σE |
Jd = ε·∂E/∂t = jωεE |
| 존재 매질 |
도체 |
유전체·진공 |
| 발열 |
줄열 발생 (I²R) |
이상적 유전체에서는 발열 없음 |
| 적용 예 |
도체 전류, 접지전류 |
케이블 충전전류, 콘덴서 전류, 전자파 전파 |
- 도체·유전체 구분: σ ≫ ωε이면 도체(전도전류 지배), σ ≪ ωε이면 유전체(변위전류 지배)로 봄
3) 맥스웰 방정식 → 파동방정식 유도 (115회 4교시 4번 유형)
- 조건: 전하·전류가 없는 균질 무손실 매질(ρ = 0, J = 0)
- 유도 순서: 회전 취하기 → 대입(암페어식) → 항등식 적용 → 정리 (회대항정)
| 단계 |
전개 |
| ① 회전 |
패러데이식 양변에 ∇× : ∇×(∇×E) = −μ·∂(∇×H)/∂t |
| ② 대입 |
∇×H = ε·∂E/∂t 대입 → ∇×(∇×E) = −με·∂²E/∂t² |
| ③ 항등식 |
∇×(∇×E) = ∇(∇·E) − ∇²E, 그리고 ∇·E = 0 |
| ④ 정리 |
∇²E = με·∂²E/∂t² (자계도 동일: ∇²H = με·∂²H/∂t²) |
| 결과 |
전파속도 v = 1/√(με), 진공 c = 1/√(μ0ε0) ≈ 3×10⁸ m/s |
| 고유임피던스 |
η = E/H = √(μ/ε), 진공 η0 ≈ 377 Ω (120π) |
- 손실 매질(J = σE 포함)에서는 ∇²E = μσ·∂E/∂t + με·∂²E/∂t² → σ항 때문에 감쇠가 생기고 도체 내부로 갈수록 약해짐(표피효과의 근거)
3. 자계 세기 계산(비오-사바르·암페어)
1) 비오-사바르 법칙과 암페어 주회적분 법칙
| 구분 |
비오-사바르 법칙 |
암페어 주회적분 법칙 |
| 식 |
dH = I·dl·sinθ / (4πr²) [AT/m] |
∮H·dl = ΣI (= N·I) |
| 의미 |
미소 전류요소가 거리 r 지점에 만드는 자계 |
폐경로를 따라 H를 적분하면 경로가 둘러싼 전류와 같음 |
| 장점 |
어떤 모양의 전류에도 적용 가능 (적분 필요) |
대칭성이 있으면 매우 간단하게 계산 |
| 적용 |
원형코일 중심, 유한 직선도선 |
무한 직선도선, 솔레노이드, 동축케이블 |
| 관계 |
미분형(국부적) |
맥스웰 ∇×H = J의 적분형(스토크스 정리) |
- 방향: 앙페르 오른나사 법칙 — 나사 진행 방향 = 전류, 나사 회전 방향 = 자계
2) 주요 형상별 자계 세기
| 형상 |
공식 |
유도 요지 |
| 무한 직선도선 |
H = I / (2πr) |
반지름 r의 원형 경로: H·2πr = I |
| 원형코일 중심 |
H = N·I / (2R) |
비오-사바르에서 θ = 90°, ∮dl = 2πR → I·2πR/(4πR²) |
| 무한장 솔레노이드 |
H = n·I (외부 ≈ 0) |
직사각형 경로: H·l = n·l·I |
| 환상 솔레노이드 |
H = N·I / (2πr) |
내부 원형 경로: H·2πr = N·I |
| 원통도체 내부 (r < a) |
H = I·r / (2πa²) |
경로 내 전류 I·r²/a² → 중심에서 0, 표면에서 최대 |
- 형상별 암기: 직선 2πr · 원형 2R · 솔레노이드 nI (직2πr 원2R 솔nI)
- 계산 예(114·129회 유형): I = 10 A, r = 0.5 m → H = 10/(2π × 0.5) ≈ 3.18 AT/m, B = μ0H ≈ 4.0 μT
- 계산 예(137회 유형): 1회 원형코일 R = 0.1 m, I = 5 A → H = 5/(2 × 0.1) = 25 AT/m
4. 전자기력 계산(플레밍 법칙)
1) 플레밍 왼손·오른손 법칙
| 구분 |
왼손 법칙 |
오른손 법칙 |
| 적용 |
전동기 (전류 → 힘) |
발전기 (운동 → 기전력) |
| 엄지 |
힘 F |
운동 방향 v |
| 검지 |
자계 B |
자계 B |
| 중지 |
전류 I |
유도 기전력 e |
| 식 |
F = B·I·l·sinθ [N] |
e = B·l·v·sinθ [V] |
- 왼손 암기: 엄지·검지·중지 = F·B·I (왼손 FBI) / 오른손은 엄지만 운동(v), 중지는 기전력(e)
- 본질: 왼손 법칙은 로렌츠 힘 F = I·l × B, 오른손 법칙은 패러데이 법칙의 방향 표현임
2) 평행도선 간 단위길이당 힘 (123회 2교시 3번 유형)
- 도선 1이 거리 r에 만드는 자속밀도: B1 = μ0·I1 / (2πr)
- 도선 2가 받는 힘(왼손 법칙, θ = 90°): F = B1·I2 = μ0·I1·I2 / (2πr) = 2×10⁻⁷·I1·I2 / r [N/m]
- 방향: 전류가 같은 방향이면 흡인력, 반대 방향이면 반발력 (작용·반작용으로 두 도선이 받는 힘의 크기는 같음)
- 계산 예: I1 = I2 = 100 A, r = 0.1 m → F = 2×10⁻⁷ × 100 × 100 / 0.1 = 0.02 N/m
3) 실무 적용 — 단락 시 전자력
- 단락전류는 정상전류의 수십 배이고 전자력은 전류의 제곱에 비례하므로, 단락 순간 부스바·케이블에 큰 힘이 작용함
- 계산 예: 단락 피크전류 50 kA, 상간 0.2 m → F = 2×10⁻⁷ × 50,000² / 0.2 = 2,500 N/m (≈ 255 kgf/m)
- 전자력은 최대 비대칭 피크값(파고값)으로 검토해야 함 → 차단기 정격투입전류가 대칭 차단전류의 약 2.5~2.6배인 이유와 같은 맥락임
| 문제점 |
대책 |
| 부스바 변형·지지애자 파손 |
지지 간격 축소, 단락 기계적 강도 검토(IEC 60865 계산법) |
| 단심 케이블 튀어오름·트레이 이탈 |
케이블 클리트로 3상 묶음(트레포일) 고정 |
| 변압기 권선 변형 |
단락 강도 시험 확인, 한류 리액터·한류퓨즈로 피크전류 억제 |
| 단락전류 증가 |
계통 분리, 고임피던스 변압기, 한류형 차단기 적용 |
5. 결론
- 전자기이론은 맥스웰 4식(가가패암) → 자계 계산(비오-사바르·암페어) → 전자기력(플레밍·평행도선)의 흐름으로 정리됨
- 성패는 각 식의 미분형·적분형 수식과 물리적 의미를 연결하고, 변위전류·파동방정식 유도 과정을 논리적으로 쓰는 데 달려 있음
- 실무에서는 케이블 충전전류, 표피효과, 단락 전자력에 따른 부스바·케이블 고정 설계로 이론을 적용해야 함
참고 및 출처
※ 법령·기준은 개정될 수 있으므로 최신 규정을 확인할 것.