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서브노트 300제 · 3번 · 중요도 ★
주제: RL·RC 기본회로 계산 — RL 직렬회로 순시값(비정현파·과도응답) / 병렬회로 전원전압·선로손실 계산
주제: RL·RC 기본회로 계산 — RL 직렬회로 순시값(비정현파·과도응답) / 병렬회로 전원전압·선로손실 계산
1. 서론
1) 의의
- RL·RC 회로는 저항(R)에 인덕턴스(L) 또는 커패시턴스(C)가 결합된 가장 기본적인 선형회로로, 전동기·변압기(RL), 전력용 콘덴서·케이블(RC) 등 건축전기설비 부하의 등가모델임
- 정상상태는 페이저(복소수) 해석, 스위칭 직후는 과도해석(미분방정식·라플라스변환), 고조파가 섞이면 중첩의 원리로 푸는 것이 핵심임
- 1교시 10점 계산문제로 반복 출제되며, 풀이 절차를 정형화해 두면 단시간에 확실한 득점이 가능한 주제임
2) 구성
- 2장: RL 직렬회로 순시값 계산 — 비정현파 전류에 대한 순시전압(중첩), 직류 인가 시 과도전류(미분방정식·라플라스), 테브난 등가를 이용한 전류 계산
- 3장: 병렬회로 전원전압·손실 계산 — 병렬 R·X 부하에 선로 임피던스가 있을 때 전원전압, 선로 유효·무효 손실 계산
- 4장: 결론 — 풀이 흐름과 실무 연계 정리
2. RL 직렬회로 순시값 계산
1) 기본 관계식 정리
| 구분 | RL 직렬회로 | RC 직렬회로 |
|---|---|---|
| 임피던스 | Z = R + jωL, |Z| = √(R² + (ωL)²) | Z = R − j/(ωC), |Z| = √(R² + (1/ωC)²) |
| 위상 | 전류가 전압보다 뒤짐(지상), θ = tan⁻¹(ωL/R) | 전류가 전압보다 앞섬(진상), θ = tan⁻¹(1/ωCR) |
| 시정수 | τ = L/R [s] | τ = RC [s] |
| 직류 인가 시 전류 | i(t) = (E/R)(1 − e^(−t/τ)) — 점차 증가 | i(t) = (E/R)·e^(−t/τ) — 점차 감소 |
| n차 고조파 리액턴스 | X_Ln = n·ωL (주파수에 비례↑) | X_Cn = 1/(n·ωC) (주파수에 반비례↓) |
| 연속 조건 | 인덕터 전류는 순간 변화 불가 | 커패시터 전압은 순간 변화 불가 |
- 전압·전류 연속 조건 암기: L은 전류, C는 전압이 연속 → 「엘류·씨압」 (엘류씨압)
- 시정수 τ 경과 시 최종값의 63.2%, 5τ 경과 시 99.3% 도달 → 실무상 5τ면 정상상태로 봄
2) 비정현파 전류에 대한 순시단자전압 (107회 1교시 12번 유형)
- 문제 조건: RL 직렬회로(R = 8 Ω, ωL = 6 Ω)에 i = 10 sin ωt + 20 sin(3ωt + θ) [A]를 흘리기 위한 순시단자전압 v를 구함
- 원리: 선형회로이므로 중첩의 원리 적용 → 고조파 차수별로 따로 풀어 순시값으로 합성함
- 풀이 순서: 분리(차수별 성분 분리) → 임피던스(차수별 Zn 계산) → 곱(Vn = In·Zn, 위상 합산) → 합성(v = Σvn) (분임곱합)
| 구분 | 기본파 (n = 1) | 제3고조파 (n = 3) |
|---|---|---|
| 리액턴스 | X_L1 = 6 Ω | X_L3 = 3 × 6 = 18 Ω |
| 임피던스 | Z₁ = 8 + j6 = 10∠36.87° Ω | Z₃ = 8 + j18 = 19.70∠66.04° Ω |
| 전압 최대값 | V₁m = 10 × 10 = 100 V | V₃m = 20 × 19.70 = 393.95 V |
| 순시전압 | v₁ = 100 sin(ωt + 36.87°) | v₃ = 393.95 sin(3ωt + θ + 66.04°) |
- 결과: v = 100 sin(ωt + 36.87°) + 393.95 sin(3ωt + θ + 66.04°) [V]
- 부가 계산: 전압 실효값 V = √((100² + 393.95²)/2) ≈ 287.4 V, 전류 실효값 I = √((10² + 20²)/2) ≈ 15.81 A
- 유효전력: P = I²R = 15.81² × 8 ≈ 2,000 W (서로 다른 차수 간 전력은 0이므로 차수별 합으로도 동일함)
- 주의: 서로 다른 주파수의 페이저는 복소수로 더할 수 없음 → 반드시 순시값(시간함수) 형태로 합성해야 함
- 실무 의미: 제3고조파에서 리액턴스가 3배가 되므로 고조파 전류가 작아도 전압 왜곡은 크게 나타날 수 있음
3) 직류 인가 시 과도전류 — 미분방정식·라플라스변환 (134회 1교시 4번 유형)
- 조건: 직류전압 E, R-L 직렬회로에서 t = 0에 스위치 S를 닫음, 초기조건 i(0) = 0
| 방법 | 풀이 과정 | 결과 |
|---|---|---|
| ① 미분방정식 | KVL: L·di/dt + R·i = E 일반해 = 특수해(E/R) + 보조해(K·e^(−Rt/L)) i(0) = 0 → K = −E/R |
i(t) = (E/R)(1 − e^(−(R/L)t)) |
| ② 라플라스변환 | 양변 변환: L[sI(s) − i(0)] + R·I(s) = E/s I(s) = E / [s(Ls + R)] = (E/R)[1/s − 1/(s + R/L)] (부분분수 전개) |
역변환: i(t) = (E/R)(1 − e^(−(R/L)t)) |
| 비교 | 미분방정식은 물리적 의미 파악이 쉬움 / 라플라스는 초기조건을 식에 자동 포함, 고차 회로에 유리 | 두 방법의 결과는 반드시 일치해야 함 |
- 단자전압: v_R = E(1 − e^(−t/τ)), v_L = E·e^(−t/τ) → t = 0⁺에서 L이 전원전압 전체를 부담함
- 1차 회로 공통 공식(만능식): x(t) = x(∞) + [x(0⁺) − x(∞)]·e^(−t/τ)
- 만능식 3요소: 초기값 x(0⁺) · 최종값 x(∞) · 시정수 τ (초최시)
- RC 회로 적용: 직류 E 인가 시 v_C = E(1 − e^(−t/RC)), i = (E/R)·e^(−t/RC) → 콘덴서 투입 시 돌입전류의 근거임
4) 테브난 등가회로를 이용한 전류 계산 (110회 1교시 13번 유형)
- 출제 형태: 스위치 SW를 닫기 직전의 개방전압 Voc, a-b에서 전원측을 본 등가 임피던스 Zeq, SW를 닫은 후 부하 Z의 전류를 구함
- 풀이 순서: 개방전압 Voc(부하 분리) → 등가 Zeq(전압원 단락·전류원 개방) → 부하전류 I = Voc/(Zeq + Z) (개등부)
| 단계 | 예시 풀이 (가정값: E = 100∠0° V, 직렬 4 Ω, 병렬 j4 Ω, 부하 Z = 2 − j2 Ω) |
|---|---|
| ① Voc | Voc = 100 × j4/(4 + j4) = 50 + j50 = 70.71∠45° V |
| ② Zeq | Zeq = (4 × j4)/(4 + j4) = 2 + j2 Ω |
| ③ 부하전류 | I = (50 + j50)/[(2 + j2) + (2 − j2)] = 12.5 + j12.5 = 17.68∠45° A |
| 검토 | Z = Zeq* (공액)이므로 최대전력전달 조건이 성립하는 경우임 → 2번 주제와 연계 |
- ※ 위 수치는 풀이 흐름을 보여주기 위한 가정값이며, 실제 시험에서는 문제 그림의 소자값을 대입해야 함
3. 병렬회로 전원전압·손실 계산
1) 문제 조건 (106회 1교시 5번 유형)
- 병렬 연결된 R, X 부하가 선로 임피던스 Zℓ = 0.5 + j0.4 Ω를 통해 전력을 공급받음
- 부하단 전압 120 V(rms), 부하 피상전력 3 kVA, 진상역률 0.8
- 구할 것: 1) 전원전압 Vs, 2) 선로의 손실 전력(유효·무효)
2) 풀이 절차
- 계산 흐름: 기준페이저(Vr = 120∠0°) → 전류(크기·위상) → 강하(Zℓ·I) → 손실(I²R, I²X) (기전강손)
| 단계 | 계산 | 결과 |
|---|---|---|
| ① 기준 설정 | 부하단 전압을 기준페이저로 둠 | Vr = 120∠0° V |
| ② 선로전류 | I = S/V = 3,000/120 = 25 A, 진상이므로 +36.87° | I = 25∠36.87° = 20 + j15 A |
| ③ 선로 전압강하 | Zℓ·I = (0.5 + j0.4)(20 + j15) = 10 − 6 + j(7.5 + 8) | 4 + j15.5 V |
| ④ 전원전압 | Vs = Vr + Zℓ·I = 120 + 4 + j15.5 | Vs = 124 + j15.5 = 124.97∠7.13° V |
| ⑤ 선로 유효손실 | Pℓ = I²R = 25² × 0.5 | 312.5 W |
| ⑥ 선로 무효손실 | Qℓ = I²X = 25² × 0.4 | 250 Var |
3) 검산 및 해석
- 전력 수지 검산: 부하 P = 3,000 × 0.8 = 2,400 W, 부하 Q = −1,800 Var(진상) → 전원 S = (2,400 + 312.5) + j(−1,800 + 250) = 2,712.5 − j1,550
- |S| = √(2,712.5² + 1,550²) ≈ 3,124 VA, |Vs|·I = 124.97 × 25 ≈ 3,124 VA → 일치함
- 전압강하 근사식: e ≈ I(R·cosθ + X·sinθ)에서 진상이면 sinθ 항이 음(−)이 되어 전압강하가 작아짐 (지상일 때보다 Vs가 낮아도 됨)
- 실무 의미: 경부하 시 콘덴서 과보상(진상)이면 수전단 전압이 송전단보다 올라갈 수 있음(페란티 현상) → 자동역률조정(APFC)으로 대응함
4) 직렬회로 vs 병렬회로 해석 비교
| 구분 | 직렬회로 | 병렬회로 |
|---|---|---|
| 공통량 | 전류 공통 → 전류를 기준페이저로 둠 | 전압 공통 → 전압을 기준페이저로 둠 |
| 합성 | 임피던스 합: Z = Z₁ + Z₂ | 어드미턴스 합: Y = Y₁ + Y₂ (Y = 1/Z) |
| 전력 계산 | P = I²R, Q = I²X | P = V²/R, Q = V²/X |
| 활용 | 선로 임피던스, 직렬리액터 | 부하군, 역률개선용 콘덴서 |
- 기준페이저 선택: 직렬은 전류, 병렬은 전압 기준 → 「직류·병압」 (직류병압)
4. 결론
- RL·RC 회로는 정상상태(페이저)·과도상태(만능식/라플라스)·비정현파(중첩) 3가지 해석 틀로 정리됨
- 성패는 기준페이저 설정, 차수별 리액턴스(nωL, 1/nωC) 반영, 초기조건 적용을 실수 없이 하는 데 달려 있음
- 실무에서는 고조파에 의한 전압왜곡, 콘덴서 투입 돌입전류, 진상 운전 시 전압상승을 이 계산으로 검토해 설비 대책에 반영해야 함
참고 및 출처
- Wikipedia — RL circuit
- Utah State University — Step Response of RL and RC Circuits
- Tutorialspoint — Step Response of Series RL Circuit using Laplace Transform
- EEPower — Understanding RL Circuit Operation and Time Constant
- Electronics Tutorials — LR Series Circuit
- 건축전기설비기술사 기출문제: 106회 1교시 5번, 107회 1교시 12번, 110회 1교시 13번, 134회 1교시 4번
※ 법령·기준은 개정될 수 있으므로 최신 규정을 확인할 것.
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